Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．

（1）求证：AC⊥ED

（2）求证：△ACD≌△ACE

（3）请猜测CD与DH的数量关系，并证明

Answer 1

证（1）

：∵∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，

∴AH⊥ED，

即AC⊥ED---------------2分

(2)

∵∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，--------------3分

在△ACD和△ACE中，

，

∴△ACD≌△ACE（SAS），-------------5分

  （3）  CD=2DH------------6分

∵ △ACD≌△ACE

∴CD=CE，

∵∠BCE=15°，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，

∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，

∴△CDE为等边三角形，

∴∠DCH=30°，-------------8分

∴CD=2DH，-------------10分