题目内容

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂．
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求证： $数学公式$ ；
（3）设方程 $数学公式$ 有两个实数根x₁，x₂，利用（2）的结论，不解方程求：①x₁²+x₂²；② $数学公式$ ．

解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，∴两边同时除以a得：
二次项系数化为“1”得：x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0
移项得：x²+ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$
配方得：x²+2•x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a≠0，∴4a²＞0
当b²-4ac≥0时，直接开平方得：
x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ；

（2）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），
当△≥0时，利用求根公式，得
x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
∵x₁+x₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
x₁x₂=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ．
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ 是正确的；

（3）方程 $\text{[math]}$ 中，
∵a= $\text{[math]}$ ，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =14，x₁x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即 $\text{[math]}$ ，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式；
（2）由求根公式求出的两个根相加、相乘，化简后即可得证；
（3）找出原方程的a，b及c的值，计算出b²-4ac，其值大于0，故方程有两个不等的实数根，根据（2）的结论求出两根之和与两根之积，
①把原式配方后变为关于两个根相加及相乘的形式，把求出的两个之和与两根之积代入即可求出值；
②把原式通分后分子利用①求出的结果整体代入，分母变为两根之积的平方，将两根之积代入，即可求出值．
点评：此题考查了利用配方法推导求根公式，由求根公式推导根与系数的关系，以及根与系数关系的运用，其中利用配方法推导求根公式是一个难点，要求学生必须掌握推导过程每一步的依据，即要搞清为什么，根与系数关系应用的前提必须是一元二次方程有解，即b²-4ac≥0，在运用根与系数关系时，往往利用配方，提取公因式，通分等方法把所求的式子化为与两根之和及两根之积有关的式子，然后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值．