Question

【题目】已知球O的半径为1，A，B是球面上的两点，且AB= ，若点P是球面上任意一点，则 的取值范围是（ ）
A.[ ， ]
B.[ ， ]
C.[0， ]
D.[0， ]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵OA=OB=1，AB= ， ∴cos∠AOB= =﹣ ，即∠AOB=120°，
以球心O为原点，以平面AOB的垂线为竖轴建立空间坐标系，
设A（1，0，0），B（﹣ ， ，0），P（x，y，z）
则 =（1﹣x，﹣y，﹣z）， =（﹣ ﹣x， ﹣y，﹣z），且x2+y2+z2=1，
∴ =（1﹣x）（﹣ ﹣x）﹣y（ ﹣y）+z2=x2+y2+z2﹣ （x+ y）﹣ = ﹣ （x+ y）．
∵P（x，y，z）是球上的一点，∴x2+y2≤1，
设m=x+ ，则当直线x+ y﹣m=0与圆x2+y2=1相切时，m取得最值，
∴ =1，∴﹣2≤m≤2，
∴当m=﹣2时， 取得最大值 ，当m=2时， 取得最小值﹣ ．
故选B．