Question

已知关于x的一元二次方程m²x²+2（3-m）x+1=0的两个不相等的实数根的倒数和为S．
（1）求S与m的函数关系式；
（2）求S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设方程的两个根式a b，由根与系数的关系得a+b=-

2(3-m)

m2

，ab=

1

m2

，代入S=

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

，求出即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式得出[2（3-m）]²-4×m²×1，推出18-12m＞0，求出2m-6＜-3，即可得出答案．

解答：解：（1）∵设方程的两个根式a b，
则由根与系数的关系得：a+b=-

2(3-m)

m2

，ab=

1

m2

，
∴S=

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

=

- 2(3-m) m2

1 m2

=2m-6；

（2）∵关于x的一元二次方程m²x²+2（3-m）x+1=0的两个不相等的实数根，
∴根据根的判别式得：[2（3-m）]²-4×m²×1=18-12m＞0，
∴2m＜3，
2m-6＜-3，
∵m²≠0，
∴m≠0，
当m=0时，2m-6=-6，
∴S＜-3且S≠-6．

点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式，注意：如果m n是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

．应用根与系数的关系条件是b²-4ac≥0，a≠0．