题目内容

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(3，0)、B(0，4)两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；

(3)若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH－PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)由题意得：，　2分

　　解得：．　3分

　　∴抛物线解析式为y＝x2－x＋4．　4分

　　(2)令y＝0，得：x2－x＋4＝0．

　　解得：x1＝1，x2＝3．

　　∴C点坐标为(1，0)．　5分

　　作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ＝C'Q，

　　则点C'就是点C关于直线AB的对称点．

　　由△ABC的面积得：CQ·AB＝CA·OB，

　　∵AB＝＝5，

　　CA＝2，　6分

　　作C'T⊥x轴，垂足为T，则△CTC'∽△BOA

　　∴＝＝，　8分

　　∴C'T＝，CT＝．

　　∴OT＝1＋＝∴C'点的坐标为(，)　9分

　　(3)设⊙D的半径为r，∴AE＝r＋3，BF＝4－r，HB＝BF＝4－r．

　　∵AB＝5，且AE＝AH，

　　∴r＋3＝5＋4－r，∴r＝3．　10分

　　HB＝4－3＝1．

　　作HN⊥y轴，垂足为N，则＝，＝，

　　∴HN＝，BN＝，∴H点坐标为(－，)．　11分

　　根据抛物线的对称性，得PA＝PC，

　　∵|PH－PA|＝|PH－PC|≤HC，

　　∴当H、C、P三点共线时，|PH－PC|最大．

　　∵HC＝＝，

　　∴|PH－PA|的最大值为．　12分


练习册系列答案
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如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

（１）求ａ的值；

（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题9分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点C、D是抛物线上的一对对称点．

【小题1】(1)求抛物线的解析式；
【小题2】(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
【小题3】(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．

（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分10分）

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．

1.（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

2.（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

3.（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

 

 

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