题目内容
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AD=4，BD=1．（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求cosB的值．
分析：（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD．
（2）由（1）知△ABC∽△CBD，可求BC=
，即可求cosB=
=
=
．
（2）由（1）知△ABC∽△CBD，可求BC=
| 5 |
| BD |
| BC |
| 1 | ||
|
| ||
| 5 |
解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD．
（2）解：∵△ABC∽△CBD，
∵AD=4，BD=1，
∴BC=
．
∵∠BDC=90°，
∴cosB=
=
=
．
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD．
（2）解：∵△ABC∽△CBD，
∵AD=4，BD=1，
∴BC=
| 5 |
∵∠BDC=90°，
∴cosB=
| BD |
| BC |
| 1 | ||
|
| ||
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形的判定，及解直角三角形．判定两个三角形相似的一般方法有：SSS、SAS、AA．
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