Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=，

（1）求B、C两点的坐标；

（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

一次函数综合题．

分析：

（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；

（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式；

（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．

解答：

解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，

∴设OA=x，则OC=3x，

根据勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，

即9x²+3x²=144，

解得：x=2．

故C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；

（2）直线AC的斜率是：﹣=﹣，

则直线DE的斜率是：．

F是AC的中点，则F的坐标是（3，3），设直线DE的解析式是y=x+b，

则9+b=3，解得：b=﹣6，

则直线DE的解析式是：y=x﹣6；

（3）OF=AC=6，

∵直线DE的斜率是：．

∴DE与x轴夹角是60°，

当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，

则∠NOC=60°或120°．

当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON•sin30°=6×=3，

OG=ON•cos30°=6×=3，则N的坐标是（3，3）；

当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（﹣3，﹣3）；

当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．

∵F的坐标是（3，3），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=3，ON===2．

作NL⊥y轴于点L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，

则NL=ON=，

OL=ON•cos30°=2×=3．

故N的坐标是（，3）．

则N的坐标是：（3，3）或（﹣3，﹣3）或（，3）．