Question

已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．
（1）试用x，y，z这3个字母表示a； （不能出现字母b，c）
（2）试说明：

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=1．

Answer 1

分析：（1）由x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，解方程组即可求得a的值；
（2）由（1）可得：

a

1+a

=

y+z-x

x+y+z

，同理求得：

b

1+b

与

c

1+c

的值，代入：

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=1，即可证得．

解答：解：（1）解方程组：

x=by+cz(1) y=cz+ax(2) z=ax+by(3)

，
（2）+（3）-（1）得：y+z-x=2ax，
∴a=

y+z-x

2x

．

（2）由（1）得：

a

1+a

=

y+z-x

x+y+z

，
同理可得，

b

1+b

=

x+z-y

x+y+z

，

c

1+c

=

x+y-z

x+y+z

，
∴

a

1+a

+

b

1+b

+

c

1+c

=

x+y+z

x+y+z

=1．

点评：此题考查了三元一次方程组的求解方法以及比例式变形．此题难度适中，注意解题需细心．