Question

已知反比例函数y=

k

4x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+2，b+k）两点．
（1）求：反比例函数的解析式．
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上．求点A的坐标．
（3）利用（2）的结果，问在x轴上是否存在点P，使得△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到

2a-1=b 2(a+2)-1=b+k

，然后结果代数式变形可解得k=4，则可确定反比例函数解析式；
（2）把一次函数与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组可确定A点坐标；
（3）先利用勾股计算出OA=

2

，过A点作AP₁⊥x轴，则△OAP₁为等腰三角形；作点O关于AP₁的对称点P₂，则△OAP₂为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P₃，P₄，则△OAP₃、△OAP₄为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．

解答：解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得

2a-1=b 2(a+2)-1=b+k

，解得k=4，
所以反比例函数解析式为y=

1

x

；

（2）解方程组

y= 1 x y=2x-1

得

x=- 1 2 y=-2

或

x=1 y=1

，
∵A点在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；

（3）存在．
OA=

12+12

=

2

，
满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（

2

，0）、（-

2

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质；运用分类讨论的思想解决问题．