Question

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO = OB．

求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

Answer 1

解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．

∴．

又∵OB = kAO，

由（2）的方法易得 BE = BD．∴．