Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．△AMN的最大面积是________．

Answer 1

分析：首先过点N作NH⊥AC于点H，由在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，利用勾股定理即可求得AB的长，设运动时间为t秒，可表示出AM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，可表示出NH的长，然后由二次函数的最值，求得答案．
解答：解：过点N作NH⊥AC于点H，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，
∴AB==13（米），
设运动时间为t秒，
∴CM=t（米），AM=AC-CM=12-t（米），AN=2t（米），
∵∠A=∠A，∠NHA=∠C=90°，
∴△ANH∽△ABC，
∴，
即，
∴NH=t，
∴S_△AMN=AM•NH=（12-t）×t=-（t-6）²+．
∴△AMN的最大面积是．
故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．此题难度适中，属于动点问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．