题目内容

精英家教网已知：如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OC=OA，△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、点D，同时动点P从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．当点P运动到点O时，直线DE与点P都停止运动．连接DP，设点P的运动时间为t秒．
①当t为何值时，
1
ED
+
1
OP
的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出
ED
OB
=
CE
CO
，求出ED=2CE=2t，根据
1
ED
+
1
OP
=
1
2t
+
1
4-2t
=
4
2t(4-2t)
=
1
-t2+2t
，求出即可；②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
BP
AB
=
BD
BC
和
BP
BD
=
BC
BA
代入求出即可．
解答：解：（1）如图，由抛物线y=ax2+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-
1
4
，
精英家教网
∴抛物线的解析式为y=-
1
4
(x-2)(x-4)=-
1
4
x2+
3
2
x-2，
答：抛物线的解析式为y=-
1
4
x2+
3
2
x-2．

（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：
ED
OB
=
CE
CO
，
即
ED
4
=
CE
2
，
∴ED=2CE=2t，
①
1
ED
+
1
OP
=
1
2t
+
1
4-2t
=
4
2t(4-2t)
=
1
-t2+2t
，
∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
∴当t=1时
1
ED
+
1
OP
的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，
1
ED
+
1
OP
的值最小，最小值是1．

②解：由题意可求：CD=
5
t，CB=2
5
，
∴BD=2
5
-
5
t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当
BP
AB
=
BD
BC
时，即
2t
2
=
2
5
-
5
t
2
5
，
解得：t=
2
3
，
当
BP
BD
=
BC
BA
时，即
2t
2
5
-
5
t
=
2
5
2
，
解得：t=
10
7
，
当t=
2
3
或t=
10
7
时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是
2
3
或
10
7
．
点评：本题主要考查对二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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3
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5
-1
2
（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
5
≈2.236，
6
≈2.449，结果精确到0.001）
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