Question

【题目】如图，在中，，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿折线、射线运动，连接.当点到达点时，点、同时停止运动.设，与重叠部分的面积为.

（1）求长；

（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）请直接写出为等腰三角形时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）过点A作AM⊥BC于点M，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，BM=CM=BC，由直角三角形的性质可得BM=2，即可求BC的值；
（2）分点P在AB上，点P在AC上，点Q在BC的延长线上时，三种情况讨论，由三角形的面积公式可求S关于x的函数关系式；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．

解：（1）过点作于点，

∵，，

∴，.

在中，，，

∴，

∴，.

∴.

（2）因为点，同时出发且速度相同，所以两点运动的路程相同

情况①：当时，此时点在线段上，如图1

过点作于点，

在中，

∵，，

∴.

∴与重叠部分的面积.

情况②：当时，此时点在线段上，如图2

过点作于点，

此时，，

∵，，

∴，

∴.

在中，

∵，，

∴.

∴与重叠部分的面积.

情况③：当时，此时点在线段上，在线段延长线上，如图3

过点作于点，

由情况②同理可得：，

∴与重叠部分的面积为的面积，

则.

综上所述：与重叠部分的面积.

（3）或

①当点在上，点在上时，不可能是等腰三角形.

②当点在上，点在上时，，，

③当点在上，点在的延长线时，，.