Question

【题目】阅读理解：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：

（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试确定E点位置．

Answer 1

【答案】（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由见解析；（2）见解析；（3）点E是AB的中点时，点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点

【解析】

（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．

（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE＝∠BCD＝30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB之间的数量关系．

解：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，

∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°

∴∠ADE＝∠CEB，

在△ADE和△BEC中，∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，

（3）如图③中，

∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB．

∴点E是AB的中点时，点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点．