Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，4），⊙C的圆心坐标为C（2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是

2

2

+8

．

Answer 1

分析：由于OA的长为定值，若△ABE的面积最大，则BE的长最长，此时AD与⊙相切且位于x轴的下方；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，可以求出OE的长，进而可得出△AOB和△AOE的面积和，由此得解．

解答：解：若△ABE的面积最大，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
∴△AEO∽△ACD
∴

AO

AD

=

OE

DC

∵A（-4，0）、B（0，4）、C（2，0），
∴AC=6，AO=4，CD=2，
∴AD=4

2

，
∴

4

4 2

=

OE

2

，
∴OE=

2

，
∴△ABE的最大面积为：

1

2

×4×

2

+

1

2

×4×4=2

2

+8，
故答案为：2

2

+8

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的面积公式的运用．