Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA²+OB²= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0的两个根.

 (1)求C点的坐标;

 (2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.

(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) C(0,2) (2) y=(3) 存在，(0,-2)和(3,-2)

【解析】本题是二次函数与圆以及全等三角形相结合的题目，难度较大

（1）线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．根据韦达定理就可以得到关于OA，OB的两个式子，再已知OA²+OB²=17，就可以得到一个关于m的方程，从而求出m的值．求出OA，OB．根据OC²=OA•OB就可以求出C点的坐标；

（2）由第一问很容易求出A，B的坐标．连接AB的中点，设是M，与E，在直角△OME中，根据勾股定理就可以求出OE的长，得到E点的坐标，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；

（3）E点就是满足条件的点．同时C，E关于抛物线的对称轴的对称点也是满足条件的点．

解：(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0 的两个根,

    ∴

又∵OA²+OB²=17,∴(OA+OB)²-2·OA·OB=17.③

把①,②代入③,得m²-4(m-3) =17,∴m²-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.

    ∴当m=5时,得方程:x²-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.

    ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC²=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

    (2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,

    ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

    设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为

    y=ax²+bx+c,则 ,解之,得

    ∴所求抛物线关系式为y=.

    (3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.

    ∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.

    ∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.

    ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.

    ∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.

    ∴可求得E′(3,-2).

    ∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)