题目内容

观察下列等式：
①
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=-1+
2
；
②
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=-
2
+
3
；
③
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=-
3
+
4
；…
从计算结果中寻找规律，并利用这一规律计算：(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2002
+
2001
)(
2002
+1)．
分析：本题需先通过观察给出的等式，找出其中的规律，再根据找出的规律对要求的式子进行化简，最后把所得的结果合并即可求出答案．
解答：解：∵
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=-1+
2
，
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=-
2
+
3
，
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=-
3
+
4
，…
∴(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2002
+
2001
)(
2002
+1)
=[（-1+
2
）+（-
2
+
3
）+（-
3
+
4
）+…+（-
2001
+
2002
）]（
2002
+1）
=（-1+
2
-
2
+
3
-
3
+
4
+…-
2001
+
2002
）（
2002
+1）
=（-1+
2002
）（
2002
+1）
=(
2002
)2-12
=2002-1
=2001．
点评：本题主要考查了分母有理化，在解题时要能找出分母的有理化因式，找出其中的规律并注意运算结果的符号是本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
22、观察下列等式：12-02①，22-12②，32-22③，42-32④，…
（1）按此规律猜想出第⑦个算式；
（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．
观察下列等式：
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2
，
同理可得：
1
4
+
3
=
4
-
3
，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…
1
2002
+
2001
）（
2002
+1）的值．
（2012•珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×
275
275
=
572
572
×25；
②
63
63
×396=693×
36
36
．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
（2012•市南区模拟）观察下列等式：
①12=1；
②2+3+4=32；
③3+4+5+6+7=52；
④4+5+6+7+8+9+10=72
请你根据观察得到的规律判断式子1006+1007+1008+…+3016=
20112
20112
．
观察下列等式：
1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4

…
（1）猜想：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下列各式的结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=
2009
2010
2009
2010
．
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．

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