Question

已知关于x的一元二次方程 x²-2（m+1）x+m=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别是x₁，x₂，且满足x₁+x₂=x₁•x₂，求m的值．

Answer 1

（1）证明：∵a=1，b=-2（m+1），c=m，
∴△=b²-4ac=[-2（m+1）]²-4×1×m=4m²+8m+4-4m=4m²+4m+4=4（m+）²+3，
∵4（m+）²≥0，
∴△=4（m+）²+3＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m，
又∵x₁+x₂=x₁•x₂，
∴2（m+1）=m，
解得：m=-2．
分析：（1）由判别式△=b²-4ac，可得△=4（m+）²+3＞0，则可证得方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系，可得x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m，又由x₁+x₂=x₁•x₂，即可求得m的值．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x₁+x₂=-，x₁x₂=的应用．