Question

如果关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m-5）x²-2（m-1）x+m=0的根的情况．

Answer 1

解：∵方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，
∴△=[-2（m+2）]²-4m（m+5）=4（m²+4m+4-m²-5m）=4（4-m）＜0．
∴m＞4．
对于方程（m-5）x²-2（m-1）x+m=0．
当m=5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，△₁=[-2（m-1）]²-4m（m-5）-4（3m+1）．
∵m＞4，∴3m+1＞13．
∴△₁=4（3m+1）＞0，方程有两个不相等的实数根．
答：当m=5时，方程（m-5）x²-2（m-1）x+m=0有一个实数根；
当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．
分析：根据题意：要使方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，必有△＜0，解可得m的取值范围，将其代入方程（m-5）x²-2（m-1）x+m=0的△公式中，判断△的取值范围，即可得出答案．
点评：主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌握．
本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．