Question

作一个辅助圆证明：△ABC中，若AD平分∠A，则=．
（提示：不妨设AB≥AC，作△ADC的外接圆交AB于E，证△ABC∽△DBE，从而==．）

Answer 1

证明：如图，作△ADC的外接圆O，交AB于E，连接DE，
∵四边形ACDE为圆内接四边形，
∴∠BED=∠C，
又∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴=，
又∵∠EAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴=．
分析：如图，作△ADC的外接圆O，交AB于E，连接DE，根据圆内接四边形的外角等于内对角的性质可知∠BED=∠C，可证△ABC∽△DBE，从而有=，再根据圆周角∠EAD=∠CAD可得DE=DC，可证结论．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的综合运用，解题时，需要灵活把握．