题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AM∥BC，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由B点向C点运动，点Q在线段BA上以每秒1个单位的速度由B点向A点运动，在运动中，始终
保持∠QPD=∠B，且PD交AC于点E，交AM于点D，当P点运动到C点时，Q点随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）当t=4秒时，试证明：△BPQ≌△CEP；
（2）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时？使得
| S △ADE |
| S△CPE |
| 1 |
| 4 |
分析：（1）由题得BQ=t，BP=2t，则CP=12-2t，根据t=4，则BQ=PC，由题意得出∠B=∠C，即可得出△BPQ≌△CEP；
（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，再由题意得出BF，AF的长，由AF⊥BC，QG⊥BC，则QG∥AF，可证明△BGQ∽△BFA，代入数值求出QG，再由面积公式即可得出S与t之间的函数关系式；
（3）由已知得△ADE∽△CPE，根据相似三角形的相似比等于面积之比的算术平方根，即可求出AE、CE，从而证出△BPQ∽△CEP，则
=
，代入数值即可得出t的值．
（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，再由题意得出BF，AF的长，由AF⊥BC，QG⊥BC，则QG∥AF，可证明△BGQ∽△BFA，代入数值求出QG，再由面积公式即可得出S与t之间的函数关系式；
（3）由已知得△ADE∽△CPE，根据相似三角形的相似比等于面积之比的算术平方根，即可求出AE、CE，从而证出△BPQ∽△CEP，则
| BP |
| CE |
| BQ |
| CP |
解答：
解：（1）如图，
由题得：BQ=t，BP=2t，则CP=12-2t，
当t=4秒时，BQ=PC=4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠QPD+∠2=∠B+∠1，
又∵∠QPD=∠B，
∴∠1=∠2，
在△BPQ和△CEP中，
∵
，
∴△BPQ≌△CEP，
（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，垂足分别为F，G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=
BC=6，
∴AF=
=8；
∵AF⊥BC，QG⊥BC，
∴QG∥AF，
∴△BGQ∽△BFA，
∴
=
，即
=
，
∴QG=
t，
∴s=
×2t×
t=
t2（0＜t≤6）；
（3）∵AM∥BC，
∴△ADE∽△CPE，
∴
=
=
=
，
∵AE+CE=AC=10，
∴AE=
，CE=
，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，
∴△BPQ∽△CEP，
∴
=
，即
=
，
∴t=
（秒）．
解：（1）如图，由题得：BQ=t，BP=2t，则CP=12-2t，
当t=4秒时，BQ=PC=4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠QPD+∠2=∠B+∠1，
又∵∠QPD=∠B，
∴∠1=∠2，
在△BPQ和△CEP中，
∵
|
∴△BPQ≌△CEP，
（2）作AF⊥BC，QG⊥BC，垂足分别为F，G，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=
| 1 |
| 2 |
∴AF=
| AB2-BF2 |
∵AF⊥BC，QG⊥BC，
∴QG∥AF，
∴△BGQ∽△BFA，
∴
| BQ |
| BA |
| QG |
| AF |
| t |
| 10 |
| QG |
| 8 |
∴QG=
| 4 |
| 5 |
∴s=
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（3）∵AM∥BC，
∴△ADE∽△CPE，
∴
| AE |
| CE |
|
|
| 1 |
| 2 |
∵AE+CE=AC=10，
∴AE=
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
∵∠B=∠C，∠1=∠2，
∴△BPQ∽△CEP，
∴
| BP |
| CE |
| BQ |
| CP |
| 2t | ||
|
| t |
| 12-2t |
∴t=
| 13 |
| 3 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
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