Question

已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：AC⊥BD；②AC平分对角线BD；
③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．
请你选其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论，编拟一个真命题，并证明．

Answer 1

解：真命题：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形．
证明：∵AC平分BD，
∴BO=DO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
分析：本题属于条件开放题，所编命题可以不唯一，如：真命题：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形，证明时可以从对角线上考虑：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD，只要再说明AO与CO相等就可以了，利用③AD∥BC证明三角形全等就可以得到．
点评：本题主要考查利用“对角线互相垂直且平分是菱形”判定四边形是菱形．