Question

13、设p和q都是大于3的质数，求证：24|p²-q²．

Answer 1

分析：因为24=3×8，只要证明3|p²-q²，8|p²-q²，问题就可以解答．

解答：解：p和q都是大于3的质数，而且都是奇数，设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要证得8能整除（4n²+4n）即可，
显然4能整除（4n²+4n），而n²与n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇数的平方被8除余1．
因此p²、q²可以表示为p²=8k+1，q²=8a+1（k．a都是正整数）；
则p²-q²=8（k-a），所以8|p²-q²；
p和q都是大于3的质数，不能被3整除，因此可以表示为p=3m+1（或3m+2），q=3n+1（3n+2），（m，n均为正整数）；
①当p=3m+1，q=3n+1时，p²-q²=3（3m²-3n²+2m-2n）能被3整除；
②当p=3m+1，q=3n+2时，p²-q²=3（3m²-3n²+2m-4n-1）能被3整除；
③当p=3m+2，q=3n+2时，p²-q²=3（3m²-3n²+4m-4n）能被3整除；
④当p=3m+2，q=3n+1时，p²-q²=3（3m²-3n²+4m-2n+1）能被3整除；
所以3|p²-q²；
综上所知24|p²-q²．

点评：此题主要分两步完成，证明p²-q²既能被3整除，又能被8整除，就可以解决问题．