题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】分析：（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
解答：解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∴AB=
AC=
×60=30cm．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=
CD=2t，
∴DF=AE；
（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，AEFD是菱形；
（3）当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴t=
时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是Rt△，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=1/2AE，
AD=AC-CD=60-4t，AE=DF=
CD=2t，
∴60-4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=
时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．
点评：本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键．
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
解答：解：（1）∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∴AB=
AC=×60=30cm．∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=
CD=2t，∴DF=AE；
（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，AEFD是菱形；
（3）当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴t=
时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是Rt△，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=1/2AE，
AD=AC-CD=60-4t，AE=DF=
CD=2t，∴60-4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=
时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．点评：本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键．
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