Question

如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．

（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？
（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=

1

2

（∠OBA-∠A）是否成立？为什么？
（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用MN∥x轴即可回答．
（2）利用∠OMP=∠N，再结合三角形的外角性质即可证明．
（3）利用∠AMN=∠N，再利用∠AMN=∠Q+∠MAQ和∠OAB=∠MAQ即可证明．

解答：解：（1）MN⊥y轴
∵MN∥x轴，
又∵∠XOP=90°，
∴∠OPN=90°，
即MN⊥y轴；

（2）∵PO平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵∠MPO=∠NPO=90°
∴∠OMP=∠N．
∵∠OMP=∠A+∠APM∠APM=∠BPN，
∴∠OBA=∠BPN+∠N=∠APM+∠OMP=∠APM+（∠A+∠APM ）．
∴∠APM=

1

2

（∠OBA-∠A）；

（3）∠Q=

1

2

（∠OBA-∠OAB）
∵∠OAB=∠MAQ
∴∠AMN=∠Q+∠MAQ=∠Q+∠OAB
又∵∠AMN=∠N
∴∠N=∠Q+∠OAB
∴∠OBA=∠Q+∠N=∠Q+（∠Q+∠OAB）
即∠Q=

1

2

（∠OBA-∠OAB）．

点评：考查了三角形内角和定理，平行线的性质和三角形的外角性质，正确的利用∠OMN=∠ONM及三角形的外角性质是解答本题的关键．