Question

如图①，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个角，角两边分别交边于两点，连接.
（1）探究：线段之间的关系，并加以证明。
（2）若点是的延长线上的一点，是的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段之间的关系，在图②中画出图形，直接写出结论.

Answer 1

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．
（2）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN=NC﹣BM．
在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN=60°，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

解析