Question

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x²－6x＋8＝0的两个根(OA＜OB)，点C在y轴上，且OA∶AC＝2∶5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D．

(1)求出点A、点B的坐标．

(2)请求出直线CD的解析式．

(3)若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵x2－6x＋8＝0 　　∴x1＝4，x2＝2．　1分 　　∵OA、OB为方程的两个根，且OA＜OB 　　∴OA＝2，OB＝4　1分 　　∴A(0，2)，B(－4，0)　1分 　　∵OA∶AC＝2∶5 　　∴AC＝5 　　∴OC＝OA＋AC＝2＋5＝7 　　∴C(0，7)　1分 　　∵∠BAO＝∠CAP，∠CPB＝∠BOA＝90° 　　∴∠PBD＝∠OCD 　　∵∠BOA＝∠COD＝90° 　　∴△BOA∽△COD 　　∴＝ 　　∴OD＝＝＝　1分 　　∴D(，0) 　　设直线CD的解析式为y＝KX＋b 　　把x＝0，y＝7；x＝，y＝0分别代入得： 　　　1分 　　∴yCD＝－2x＋7．　1分 　　(3)存在，P1(－5.5，3)，P2(9.5，3)，P3(－2.5，－3)　3分 　　注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分．