Question

[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（分别用文字语言及符号语言叙述）；
[尝试证明]
它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．现以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]
如图3所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图4所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₁=AB+AP．
方案二：如图5所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₂=AP+BP．①在方案一中，a₁=

x+3

km（用含x的式子表示）
②在方案二中，a₂=

x2+48

km（用含x的式子表示）
③请你分析：要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

Answer 1

分析：[定理表述]直接利用勾股定理叙述并写出即可；
[尝试证明]首先得出∠AED=90°，再利用S_梯形ABCD=S_△ABE+S_△DEC+S_△AED，得出即可；
[知识拓展]①AB=xkm，利用AP⊥l于点P，则AP=AC，得出a₁=AB+AP的值；
②过B作BM⊥AC于M，则AM=1，在△ABM中，由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B求出即可；
③分别根据当

a

2 1

-

a

2 2

＞0，当

a

2 1

-

a

2 2

=0，当

a

2 1

-

a

2 2

＜0时，分别得出x的取值范围进而得出答案．

解答：解：[定理表述]直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么c²=a²+b²，
[尝试证明]
在△ABE和△ECD中，

AB=EC ∠B=∠C BE=CD

，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
S_梯形ABCD=S_△ABE+S_△DEC+S_△AED，
∴

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²，
整理，得a²+b²=c²，

[知识拓展]
①∵AB=xkm，AP⊥l于点P，
∴AP=AC，
∴a₁=AB+AP=x+3，
故答案为：x+3；

②过B作BM⊥AC于M，则AM=4-3=1，在△ABM中，
由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=

x2-1+49

=

x2+48

．
故答案为：

x2+48

．

③∵

a

2 1

-

a

2 2

=（x+3）²-（

x2+48

）²=x²+6x+9-x²-48=6x-39，
∴当

a

2 1

-

a

2 2

＞0（即a₁-a₂＞0，a₁＞a₂）时，
6x-39＞0，
解得：x＞6.5；
当

a

2 1

-

a

2 2

=0（即a₁-a₂=0，a₁=a₂）时，
6x-39=0，
解得：x=6.5；
当

a

2 1

-

a

2 2

＜0（即a₁-a₂＜0，a₁＜a₂）时，
6x-39＜0，
解得：x＜6.5；
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短；
当x=6.5时，两种方案一样；
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．

点评：此题主要考查了勾股定理得证明以及最短路径问题的应用，利用分类讨论得出最值是解题关键．