Question

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；④AN：AB=AM：AC，一定正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP；
②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证得△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则易得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC；
③根据锐角三角函数的定义，可得③错误；
④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AN：AB=AM：AC．
解答：①∵BN、CM为高，
∴∠BMC=∠BNC=90°，
∵P为BC的中点，
∴NP=MP，故①正确；
②∵BN、CM为高，
∴∠BNA=∠CMA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△BNA∽△CMA，
∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△AMN也是等边三角形，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∴MN∥BC，故②正确；
③∵∠ABC=60°，
tan60°==2，与矛盾，故③错误；
④∵△AMN∽△ABC，
∴AN：AB=AM：AC，故④正确．
∴一定正确的有3个．
故选C．
点评：此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．