Question

已知：如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与直线相交于点B，点C，直线与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点N在线段BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不与B、C重合），1秒后，点M在射线BA上以每秒2个单位长度的速度从B向A运动．设点N运动时间为t秒，请求出t为何值时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线，令y=0，解方程求出点A、B的坐标，然后把点B的坐标代入直线BC的解析式求出b的值，即可得解；
（2）根据点A、B的坐标求出AB的长度，再把抛物线解析式与直线BC的解析式联立求解得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用直线BC的解析式求出点E的坐标，然后求出OB、OE的长度，再利用勾股定理列式求出BE的长度，用t表示出BM、BN的长度，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似分两种情况列出比例式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，则-x²+3=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，点A（-2，0），B（2，0），
所以，-×2+b=0，
解得b=，
所以，直线BC的解析式为y=-x+；

（2）∵点A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
联立，
解得，（为点B坐标，舍去），
所以，点C的坐标为（-1，），
所以，△ABC的面积=×4×=；

（3）存在．
令x=0，则y=，
所以，点E的坐标为（0，），
所以，OE=，
在Rt△OBE中，BE===，
设t秒时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似，则BN=t，BM=2（t-1），
∵∠OBE=∠MBN，
∴=或=，
即=或=，
解得t=或t=，
故存在t=或t=时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，联立连函数解析式求交点坐标，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（3）根据两边对应成比例，夹角相等判定两三角形相似，列出比例式是解题的关键，注意要分两种情况．