Question

【题目】如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）E（3，8）；（3）点P的坐标是（﹣2，﹣）或（6，0）或（0，4）．

【解析】试题分析：（1）首先根据直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是，点C的坐标是 然后根据抛物线经过两点，求出的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过过E作EG∥y轴，交直线BC于G，然后设 则 求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出 进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

试题解析：（1）当时，

∴,

当时，

∴

把和代入抛物线中得：

解得： ，

∴抛物线的解析式为：

（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，

设 则

∵

∴S有最大值，此时

（3）

对称轴是：

∴

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，

∵点M在直线上，

∴点M的坐标是（3，2），

又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为2，

根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣2，

∴

②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为2，

∴P的横坐标为6，

∴P（6，0）（此时P与C重合）；

③以AM为对角线时，如图4，

∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律

∴点P的坐标是（0，4）

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，

点P的坐标是或（6，0）或（0，4）．