Question

【题目】探究：如图1和2,四边形中,已知，，点，分别在、上，．

（1）①如图 1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；

②如图 2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_______时，仍有;

（2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且．若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2）

【解析】

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

（1）①如图1，

∵把绕点逆时针旋转至，使与重合，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

即，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴；

②，

理由是：

把绕点旋转到，使和重合，

则，，，

∵，

∴，

∴，，在一条直线上，

和①知求法类似，，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案为：

（2）∵中，，

∴，由勾股定理得：

，

把绕点旋转到,使和重合，连接．

则，，，

∵，

∴，

∴，

在和中

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∵，，

∴，

由勾股定理得：，

，

解得：，

即．