题目内容
如图，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BC于E，求证：BE=2EC．分析：首先设AE与BD交于点F，过点D作DG∥BC交AE于点G，由AB=AC，AB⊥AC，D是AC的中点，易求得EC=2GD，BD=
AD，又可证得△AFD∽△BAD，由相似三角形的对应边成比例，可求得DF=
AD，即可得DF：BF=1：4，又由△DFG∽△BFE，即可得BE=4DG，继而证得BE=2EC．
| 5 |
| ||
| 5 |
解答：
证明：设AE与BD交于点F，过点D作DG∥BC交AE于点G，
∵D是AC的中点，
∴DG是△AEC的中位线，
∴EC=2GD，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
∵AB⊥AC，
∴BD=
=
AD，
∵∠BAD=∠DFA=90°，
∵∠ABD+∠ADF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
∴△AFD∽△BAD，
∴
=
，
∴DF=
AD，
∴BF=BD-DF=
AD，
∴DF：BF=1：4，
∵GD∥BC，
∴△DFG∽△BFE，
∴
=
=
，
∴BE=4GD，
∴BE=2EC．
证明：设AE与BD交于点F，过点D作DG∥BC交AE于点G，∵D是AC的中点，
∴DG是△AEC的中位线，
∴EC=2GD，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
∵AB⊥AC，
∴BD=
| AB2+AD2 |
| 5 |
∵∠BAD=∠DFA=90°，
∵∠ABD+∠ADF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ABD=∠DAF，
∴△AFD∽△BAD，
∴
| DF |
| AD |
| AD |
| BD |
∴DF=
| ||
| 5 |
∴BF=BD-DF=
4
| ||
| 5 |
∴DF：BF=1：4，
∵GD∥BC，
∴△DFG∽△BFE，
∴
| GD |
| BE |
| DF |
| BF |
| 1 |
| 4 |
∴BE=4GD，
∴BE=2EC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的中位线定理．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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