Question

如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线CE交直线AB与点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED=，tanF=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）3．

试题分析：（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线.
（2）CE=BE=DE=，在Rt△BFE中，利用正切的定义得，可计算出BF=2，再利用勾股定理可计算出EF=，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．
试题解析：（1）如图，连接CB、OC，
∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB。∴∠ABD=90°.
∵AB是直径，∴∠ACB=90°.
∴∠BCD=90°.
∵E为BD的中点，∴CE="BE." ∴∠BCE=∠CBE.
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°.
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE=BE=DE=，
在Rt△BFE中，，∴BF=2.
∴.∴CF=CE+EF=4.
在Rt△OCF中，，∴OC=3，即⊙O的半径为3．