Question

【题目】如图1，已知直线y=2x分别与双曲线， 交于P、Q(1，n)两点．

（1）求k的值．

（2）如图2，点A是双曲线上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线于点B、C，连接BC．试探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；

（3）如图3，过点B作AC的平行线交直线y=2x于点D，请你进一步探索在点A运动过程中，tan∠ACB=tan∠ADB能否成立？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值为2； (2)不变；（3）能成立.当tan∠ADB= tan∠ACB时，A点的坐标为（2， ）或（2，4）．

【解析】试题分析：（1）将点Q（1，n）代入y=2x得求得n的值，再将点Q坐标代入，可得k的值；

（2）设点A的坐标为（a，b），易得b=，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值；

（3）由an∠ADB= tan∠ACB可得，DB=AC，设出点A的坐标，则可得到相应B、D的坐标，进而表示出AC、BD，即可求得a的值.

试题解析：（1）将点Q（1，n）代入y=2x得：n=2×1=2，

将点Q（1，2）代入得:k=2×1=2，

∴k的值为2；

（2）不变.

由题意设点A的坐标为（a， ），

∵AB∥x轴，AC∥y轴，

∴xC=xA=a，yB=yA=b=．

∵点B、C在双曲线y=上，

∴xB==，yC=．

∴点B的坐标为（， ），点C的坐标为（a， ）．

∴AB= ，AC=．

∴S△ABC=ABAC=．

∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．

（3）能成立.

∵tan∠ADB= tan∠ACB， ，DB=AC，

由题意设点A的坐标为（a， ），则：

B（， ）、C（a， ）、D（， ）

∴AC=，DB=

∴ =

解得： ， （舍），， （舍）

∴点A的坐标为（2， ）或（2，4）．

综上所述：当tan∠ADB= tan∠ACB时，A点的坐标为（2， ）或（2，4

备注：当点A为（2， ）时，如图3所示；

当点A为（2，4）时，如图4所示.