Question

【题目】如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．

（1）求tan∠BPC的值；

（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；

（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．

Answer 1

【答案】（1）tan∠BPC＝；（2）的值不会发生变化，；（3）AP+2BP的最大值为10．

【解析】

（1）连接AC，可得△ACB是直角三角形，即可得出AB，BC和AC的值，由圆的性质可得∠BPC＝∠BAC，即可求出tan∠BPC；

（2）由已知可推出△CBD∽△CAP，可得＝，因为是固定值，所以也是固定值；

（3）由（2）知BD＝AP，可将AP+2BP化成，所以可推出AP+2BP＝PC≤AB＝10，即得出AP+2BP的最大值．

（1）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，

∴AC＝＝4，

∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；

（2）的值不会发生变化，理由如下：

∵∠PCD＝∠ACB＝90°，

∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，

∴∠1＝∠2，

∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，

∴∠3＝∠PAC，

∴△CBD∽△CAP，

∴＝，

在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，

∴＝＝；

（3）由（2）知BD＝AP，

∴AP+2BP

＝2（AP+BP）

＝2（BD+BP）

＝2PD

＝，

由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，

∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，

∴AP+2BP的最大值为10．