Question

在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为

 

．

Answer 1

分析：首先由已知可得△ABC是直角三角形，则可求得∠B与∠C的余弦值，在△ABD与△AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在△ADE中用余弦定理求得∠DAE的余弦值，即可求得∠DAE的度数．

解答：解：∵AB=5，AC=12，CB=13，
∴AB²+AC²=CB²，
∴∠BAC=90°，
∴cos∠B=

AB

CB

=

5

13

，cos∠C=

AC

CB

=

12

13

，
∵BD=1，CE=8，
∴DE=4，
∴AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cos∠A=25+1-2×5×1×

5

13

=26-

50

13

=

288

13

，
AE²=AC²+CE²-2•AC•CE•cos∠C=144+64-2×12×8×

12

13

=208-

2304

13

=

400

13

，
∴AD=

12 26

13

，AE=

20 13

13

，
∴cos∠DAE=

AD2+AE2-DE2

2•AD•AE

=

2

2

，
∴∠DAE=45°．
故答案为：45°．

点评：此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用．