Question

如图，正方形OABC的边长是1个单位长度，点M的坐标是（0，

3

2

）．动点P从原点O出发，沿x轴的正方向运动，速度是每分钟3个单位长度，直线PM交BC于点Q，当直线PM与正方形OABC没有公共点的时候，动点P就停止运动．
（1）求点P从运动开始到结束共用了多少时间？
（2）如果直线PM平分正方形OABC的面积，求直线PM的解析式；
（3）如果正方形OABC被直线PM分成两部分中的较小部分的面积为

1

3

个平方单位，求此时点P运动的时间？

Answer 1

分析：（1）根据题意得，直线MB与x轴的交点即为点P结束运动的地方；根据三角形相似的性质，即可求得；
（2）找到正方形的中心N，直线MN即为所求；
（3）此题需要分两种情况分析，根据梯形的面积求法，即可求得．

解答：解：（1）连接MB，并延长交x轴于点D；
由条件得△MCB∽△MOD
∴

MC

MO

=

BC

DO

∴DO=3，∴点P的运动时间是1分钟．

（2）设正方形的中心是N，那么N（

1

2

，

1

2

），显然直线MN平分正方形的面积；
设直线MN的解析式：y=kx+b，把M（O，

3

2

），N（

1

2

，

1

2

）代入得：k=-2，b=

3

2

．
∴直线MN的解析式是y=-2x+

3

2

（3）设出发时间是t分钟．
讨论：①当P在线段OA内，由第一小题知：OP=3t，CQ=t，
得

(t+3t)×1

2

=

1

3

∴t=

1

6

分钟．
②由几何知识得：当P与A重合时，△PBQ的面积恰好是

1

3

．
此时P运动的时间是

1

3

分钟．

点评：此题考查了正方形的性质，考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了梯形面积的求法；解题的关键是要注意数形结合思想的应用，还要住别漏解．