Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程x²+4x﹣5=0的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论；

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．

解答：

解：（1）解方程x²+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，

由于x₁＜x₂，则有x₁=﹣5，x₂=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．

抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），

∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），

令x=0，得y=﹣5a，

∴C点的坐标为（0，﹣5a）．

依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，

过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．

S_△ACD=S_梯形ADEO﹣S_△CDE﹣S_△AOC

=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC

=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a

=15a，

而S_△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，

∴S_△ABC：S_△ACD=15a：15a=1；

（2）如解答图所示，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，

设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²．

∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，

由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，

即（9+81a²）+（4+16a²）=25+25a²，化简得：a2=，

∵a＞0，

∴a=，

∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x²+x﹣．

点评：

本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法．