Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心OB为半径的圆与AB交于点E，与AC交于点D，连接DE、DE、OC，若DE∥OC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵DE∥OC，
∴∠DEB=∠COB，∠DOC=∠ODE．
∵∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠BOC．
∵OD=OD，OC=OC，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴∠ODA=90°．
∴AC是⊙O的切线．

解：（2）设半径为x，则x²+4=（x+1）²
∴x=1.5
∴AB=4．
∵BC=CD，
∴CD²+16=（CD+2）²
∴CD=3．
分析：（1）要想证AC是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODA=90°即可．
（2）勾股定理求出半径后，求CD的长．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．