题目内容

在Rt△ABC中，∠C=30°，DE垂直平分斜边BC，交AC于点D，E点是垂足，连接BD，若BC=8，则AD的长是________．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：由在Rt△ABC中，∠C=30°，BC=8，可求得AB的长，又由勾股定理，求得AC的长，然后设AD=x，由线段垂直平分线的性质，可得BD=CD=AC-AD，然后由勾股定理得到方程：16+x²=（4 $\text{[math]}$ -x）²，解此方程即可求得答案．
解答：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，BC=8，
∴AB= $\text{[math]}$ BC=4，
∴AC= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∵DE垂直平分斜边BC，
∴BD=CD，
设AD=x，
则CD=BD=AC-AD=4 $\text{[math]}$ -x，
在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，
即16+x²=（4 $\text{[math]}$ -x）²，
解得：x= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．