Question

如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n

（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；
（2）根据图1，求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2). 旋转∆AFG，使得BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证；
(4）在旋转过程中,(3)中的等量关系是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

Answer 1

(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA，证明见解析(2)
（3）（1- ，0），证明见解析(4）成立，证明见解析

解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA                                  1分
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA  又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA      3分
(2)∵∆ABE∽∆DCA  ∴ 由依题意可知 
∴                               5分
自变量n的取值范围为              6分
(3) ∵BD=CE，
∴BE=CD．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∵△BAE∽△CDA，
∴CD=AB=，易得CO=1．
∴OD=-1，那么点D的坐标为（1- ，0）．
∵BD=2-，CE=2-，DE=2-2BD=2 -2，
∴BD²+CE²=DE²．
(4)成立                      10分
证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH="90°." 连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH 即BD＋CE=DE          12分
（1）根据“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；
（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，则有△ABE∽△DCA，因为相似三角形的对应边成比例，所以，，再把已知数据代入求解即可．
（3）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，则AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD="AB=" ，由OC=1得到点D的坐标，进而表示出所求的代数式．
（4）可旋转一特殊角的度数，求解，得到一般结论．