Question

如图，四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，直线PS分别交AB、CD的延长线于P、S，交BC、AC、AD于Q、E、R，BP＝1，DS＝2．

（1）写出图中相似三角形（不含全等三角形）；
（2）请找出图中除AB＝CD、BC＝AD以外的相等线段，并证明你的判断．
（3）求四边形ABQR与四边形CQRD的面积比．

Answer 1

（1）△SRD∽△SQC、△SRD∽△PRA、△SRD∽△PQB、△PBQ∽△SCQ、△PBQ∽△PAR、△ARE∽△CQE、△PEA∽△SEC；（2）AP＝AD、AC＝SC；（3）5:7.

试题分析：（1）根据相似三角形的判定方法结合图形的特征求解即可；
（2）由AB＝3，AD＝4，BP＝1，DS＝2结合勾股定理求解即可；
（3）设BQ＝，则QC＝4－，由△PBQ∽△SCQ根据相似三角形的性质可求得x，即可求得BQ、QC的长，由△SRD∽△SQC根据相似三角形的性质可求得RD、AR的长，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）△SRD∽△SQC、△SRD∽△PRA、△SRD∽△PQB、△PBQ∽△SCQ、△PBQ∽△PAR、△ARE∽△CQE、△PEA∽△SEC；
（2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，BP＝1，DS＝2
∴AP＝AD＝4，AC＝SC＝5；
（3）设BQ＝，则QC＝4－
∵△PBQ∽△SCQ
∴，即＝，解得
即BQ＝，QC＝
∵△SRD∽△SQC
∴，RD. QC·，AR＝4
∴S_四ABQR＝（BQ＋AR）·AB·（）·3＝5
∴S_四RDCQ＝S_四ABCD－S_四ABQR＝3×4－5＝7 
∴S_四ABQR：S_四CQRD＝5:7.
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.