题目内容
如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．①③⑤
D．①③④
【答案】分析：若∠BAC=30°，
AB=2AC，由于△ABD、△ACE都是等边三角形，显然AD≠AE，而△DBF和△FAE中，∠DBF=∠AFO=60°，易证得∠FAE、∠DFB都是直角，且F是AB中，由此证得两个三角形全等，可得DF=AE，进而可证得△DFG≌△AGE，即AF=2AG，AD=4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的．
解答：解：Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2
，AB=4；
∴AF=2，AE=2
，
∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△FAE是直角三角形，
∴tan∠AEF=
=
，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，
根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）
①∵F是AB的中点，∴AF=BF；
∵∠BAC=30°，
∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，
∴△DBF≌△FEA，故①正确；
②在Rt△ABC中，AB＞AC，故AD＞AE，②错误；
④由①得全等三角形知：DF=AE，
又∵∠DFG=∠GAE=90°，∠DGF=∠AGE，
∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，
∴AD=2AF=4AG，故④正确；
⑤由④知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=
，
∴S△OEG=
OE•（
OA）=
×3×
=
；
又S△AGO=
•（
AB）•AG•sin60°=
×1×
=
，
故△AOG与△EOG的面积比为1：3，⑤错误；
因此正确的结论是①③④，
故选D．
点评：此题主要考查的是直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定以及图形面积的求法，难度适中．
AB=2AC，由于△ABD、△ACE都是等边三角形，显然AD≠AE，而△DBF和△FAE中，∠DBF=∠AFO=60°，易证得∠FAE、∠DFB都是直角，且F是AB中，由此证得两个三角形全等，可得DF=AE，进而可证得△DFG≌△AGE，即AF=2AG，AD=4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的．解答：解：Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2
，AB=4；∴AF=2，AE=2
，∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△FAE是直角三角形，
∴tan∠AEF=
=，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）
①∵F是AB的中点，∴AF=BF；
∵∠BAC=30°，
∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，
∴△DBF≌△FEA，故①正确；
②在Rt△ABC中，AB＞AC，故AD＞AE，②错误；
④由①得全等三角形知：DF=AE，
又∵∠DFG=∠GAE=90°，∠DGF=∠AGE，
∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，
∴AD=2AF=4AG，故④正确；
⑤由④知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=
，∴S△OEG=
OE•（OA）=×3×=；又S△AGO=
•（AB）•AG•sin60°=×1×=，故△AOG与△EOG的面积比为1：3，⑤错误；
因此正确的结论是①③④，
故选D．
点评：此题主要考查的是直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定以及图形面积的求法，难度适中．
练习册系列答案
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