Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：
①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①②③
• B、①④⑤
• C、①③⑤
• D、①③④

Answer 1

分析：若∠BAC=30°，

3

AB=2AC，由于△ABD、△ACE都是等边三角形，显然AD≠AE，而△DBF和△EFA中，∠DBF=∠AFO=60°，易证得∠FAE、∠DFB都是直角，且F是AB中点，由此证得两个三角形全等，可得DF=EA，进而可证得△DFG≌△AGE，即AF=2AG，AD=4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的．

解答：解：Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2

3

，AB=4；
∴AF=2，AE=2

3

，
∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△EFA是直角三角形，
∴tan∠AEF=

AF

AE

=

3

3

，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，
根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）
①∵F是AB的中点，∴AF=BF；
根据等边三角形三线合一的性质知：DF⊥AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，
∴△DBF≌△EFA，故①正确；
②在Rt△ABC中，AB＞AC，
∵AB=AD，AC=AE，
∴AD＞AE，故②错误；
④由①的全等三角形知：DF=EA，
又∵∠DFG=∠EAG=90°，∠DGF=∠EGA，
∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，
∴AD=2AF=4AG，故④正确；
⑤由④知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=

3

，
∴S_△EOG=

1

2

OE•（

1

2

OA）=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

；
又S_△AOG=

1

2

AG•AO•sin30°=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
故△AOG与△EOG的面积比为1：3，故⑤错误；
因此正确的结论是：①③④，
故选：D．

点评：此题主要考查的是直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定以及图形面积的求法，难度适中．