Question

已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有点P，且AP=BP，∠APB=120°.

(1)求AP的长；

(2)求证：点P在∠MON的平分线上；

(3)如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP

的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，

FC，OP. ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

解：

 (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q 

∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

∴AP= ＝4

（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T

∴∠OSP=∠OTP=90°

在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，

∴△APS≌△BPT

 ∴PS=PT

∴点P在∠MON的平分线上（3） ①8+4

②4+4＜t≤8+4