Question

【题目】

(1)（操作发现）

如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,连接BD，则∠ABD=____度；

(2)（类比探究）

如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形：

(3)（解决问题）

如图③，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积;

(4)（拓展应用）

图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）60，理由见解析；（2）见解析；（3） ；（4）

【解析】

（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；
（3）【解决问题】：如图3中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解决问题；
（4）【拓展应用】：如图4中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，再证明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；

（1）【操作发现】60.

理由：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°.

(2)【类比探究】证明：如图，以PA为边长作等边△PAD，使 P，D分别在，AC的两侧，连接CD.

∵∠BAC=∠PAD=60°

∴∠BAP=∠CAD.

∵AB=AC，AP=AD,

∴△PAB≌△DAC(SAS)，

∴BP=CD.

在△PCD中，∵PD+CD＞PC.

又∵AP=PD，

∴AP+BP＞PC.

∴以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．

(3)【解决问题】如图，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，

∴∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，

AP=AP′，∠PAP′= 60∴△APP′是等边三角形，

∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,

∴∠PP′C=150°-60°=90°, ∠P′PC=∠APC-∠APP′=30°，

∴PP′=,即AP=．

∵∠APC=90°,AC=，

∴AP +PC =AC，即，

∴PC=2（舍负），∴AP=，∴.

(4)【拓展应用】如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC,连接PD,BE.

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC,

∴△APC≌△EDC,∠PCD=60°

∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=4,

∴∠ACB=∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB=30°，

∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°.

在Rt△BCE中，∵BC=5,CE=4，

∴，

当P,D在BE上时,PA+PB+PC=BE，此时PA+PB+PC取最小值，为.