题目内容

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，已知∠B=45°，AB= $数学公式$ ，CD= $数学公式$ ．试求：
（1）四边形ABCD的周长；（2）四边形ABCD的面积．

解：（1）延长AD，BC交于E点，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE，△CDE都为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB= $\text{[math]}$ ，
∴AE=AB= $\text{[math]}$ ，BE= $\text{[math]}$ AB=4 $\text{[math]}$ ，
在Rt△CDE中，CD= $\text{[math]}$ ，
∴CE=CD= $\text{[math]}$ ，DE= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ，
∴AD=AE-DE=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
BC=BE-CE=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴AB+BC+CD+AD=2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ ；

（2）根据（1）可知，
S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE，
= $\text{[math]}$ ×AB×AE- $\text{[math]}$ ×CD×CE，
=12- $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）延长AD，BC交于E点，将问题转化到两个等腰直角三角形△ABE，△CDE中，根据已知条件求各边的长，再作差即可；
（2）根据（1）中两个等腰直角三角形的直角边长，利用S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE求面积．
点评：本题考查了解直角三角形的知识．关键是将问题转化为两个直角三角形求解．