Question

如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，
C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）由抛物线C₁：得顶点P的为（-2，-5） 
      ∵点B（1，0）在抛物线C₁上
       ∴
       解得，a= ；
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
     ∵点P、M关于点B成中心对称
     ∴PM过点B，且PB=MB
       ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5，BG=BH=3
      ∴顶点M的坐标为（4，5）
     抛物线C₂由C₁关于x轴对称得到，抛物线C₃由C₂平移得到
     ∴抛物线C₃的表达式为；
 （3）∵抛物线C₄由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到
         ∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5    
        设点N坐标为（m，5）
     作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K
       ∵旋转中心Q在x轴上 ∴EF=AB=2BH=6
       ∴FG=3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
     根据勾股定理得 PN²=NK²+PK²=m²+4m+104
          PF²=PH²+HF²=m²+10m+50
         NF²=5²+3²=34  
       ①当∠PNF=90^。时，PN²+ NF²=PF²，解得m=，∴Q点坐标为（，0）
       ②当∠PFN=90^。时，PF²+ NF²=PN²，解得m=，∴Q点坐标为（，0）
       ③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90^。综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，
           以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．