Question

若|b-1|+

a-4

=0，且一元二次方程kx²+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是

k≤4，且k≠0

；若x₁，x₂是一元二次方程kx²+ax+b=0的两个实数根且满足

1

2

(x1-x2)2-2x1x2=4，则k=

-2或1

．

Answer 1

分析：首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式△=b²-4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围；由根与系数的关系x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

来求k的值．

解答：解：∵|b-1|+

a-4

=0，
∴b-1=0，且a-4=0，
解得，b=1，a=4，
∴由一元二次方程kx²+ax+b=0，得
kx²+4x+1=0；
又∵一元二次方程kx²+ax+b=0有两个实数根，
∴△=16-4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4，且k≠0；
∵x₁+x₂=-

4

k

，x₁•x₂=

1

k

，
∴

1

2

(x1-x2)2-2x1x2
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2
=

1

2

×

16

k2

-4×

1

k

=4，
∴k²+k-2=0，即（k+2）（k-1）=0
解得，k=-2或k=1．
故答案是：k≤4，且k≠0，；k=-2或k=1．

点评：本题综合考查了非负数的性质、根的判别式、根与系数的关系．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．